tex,pics: add batch 1

solution.tex

@@ -1 +1,266 @@
+Jazyky zvolené pre vypracovanie práce boli \href{https://go.dev/}{Go} (výpočty
+a celková koordinácia), Matlab (výpočty) a Python (vizualizácie).
 
+Pseudonáhodné dáta reprezentujúce signál boli vygenerované programom Matlab -
+Simulink\footnotemark{}.
+\\
+\\
+Kód je dostupný na nasledujúcom odkaze:\\
+\url{https://git.dotya.ml/wanderer/ak9im/src/p3}.
+\\
+Kód tohto protokolu je dostupný na nasledujúcom odkaze:\\
+\url{https://git.dotya.ml/wanderer/ak9im-proto3}.
+
+\footnotetext{Matlab bol používaný na systéme Arch Linux (btw\texttrademark)
+\href{https://bbs.archlinux.org/viewtopic.php?id=277970}{po}
+\href{https://bbs.archlinux.org/viewtopic.php?pid=2051175#p2051175}{prekonaní}
+\href{https://uk.mathworks.com/matlabcentral/answers/1798895-invalid-cross-device-link-18-when-saving-a-file-on-arch-linux}{viacerých}
+\href{https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/93703-why-do-i-receive-host-id-error-after-selecting-a-license-file-during-installation}{problémov}
+s~inštaláciou, aktiváciou, QT + Wayland, \texttt{libfreetype.so} a inými.}
+
+\subsection{Spojitý model}
+\begin{equation*}
+  G(s) = \frac{1}{2s^2 + 5s + 1}
+\end{equation*}
+
+\subsection{Simulinkové schéma pre simuláciu pseudonáhodného signálu so
+zavedeným výstupom zdroja bieleho šumu}
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.80\textwidth]{res/model}
+  \caption{Simulinkové schéma pre simuláciu pseudonáhodného signálu so
+  zavedeným výstupom zdroja bieleho šumu}
+  \label{fig:model}
+\end{figure}
+
+Parametre zdroja bieleho šumu:
+\begin{description}
+  \item[Noise power $CoV$] 0.0001
+  \item[Sample time ($Ts$)] 0.01s
+  \item[Seed ($seed$)] 23341
+\end{description}
+
+\newpage
+\subsection{Perióda vzorkovania}
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.80\textwidth]{res/step_response}
+  \caption{Prechodová charakteristika modelu podľa \texttt{step(1, [2 5 1])}}
+  \label{fig:stepresponse}
+\end{figure}
+
+Prechodová charakteristika zobrazená na obrázku~\ref{fig:stepresponse} bola
+získaná príkazom \texttt{step(1 [2 5 1])} v Matlabe. V amplitúde nadobúda
+stabilne hodnotu $1$ po cca.~30 sekundách, perióda vzorkovania na výstupoch
+\textit{u} a \textit{y} bola teda podľa zadania zvolená na 3s (aktívna časť =
+10 vzoriek $\rightarrow 30s / 10 = 3s$). Minimálny počet vzoriek bol predpísaný
+na 250, dĺžka vzorkovania bola preto nastavená na 750s, rovnako ako v prípade
+protokolov 1 a 2.
+
+
+\newpage
+\subsection{Vybudenie sústavy pseudonáhodným signálom}
+Sústava zobrazená na obrázku~\ref{fig:model} bola vybudená pseudonáhodným
+signálom s rovnomerným (\textit{uniform}) rozložením hodnôt v intervale
+$<-1;1>$. Vzorkovaním signálu bolo získaných celkom 251 hodnôt.
+
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.35\textwidth]{res/samplecount}
+  \caption{Počet vzoriek zachytených na výstupoch \textit{u} a \textit{y}}
+  \label{samplecount}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Spracovanie vzoriek - štruktúra programu}
+Zachytené dáta (\texttt{out.u} aj \texttt{out.y}) boli uložené ako do súborov:
+\begin{itemize}
+  \item \texttt{p3/data/m.csv} ako matica zložená z dvoch stĺpcových vektorov
+    ($u, y$),
+  \item \texttt{p3/data/\{u,y\}.csv} zvlášť ako stĺpcové vektory.
+\end{itemize}
+\\
+Program načíta tieto dáta, spočíta štatistické charakteristiky a následne: 
+\begin{itemize}
+  \item najskôr získa parametre ARX modelu $\theta_{r}$ a chybu odhadu
+    $\hat{e}_{r}$ pomocou \textbf{Rekurzívnej metódy najmenších štvorcov}
+    (RLSq) a
+  \item nakoniec zavolá Matlab skript \texttt{p3/matlab/explicit.m} pre výpočet
+    parametrov $\theta_{e}$ a chyby $\hat{e}_{e}$ pomocou \textbf{Explicitnej
+    metódy najmenších štvorcov} (ELSq).
+\end{itemize}
+\\
+Pre výpočet explicitnej metódy bol zvolený Matlab (resp. Matlab skript volaný z
+Go programu) z dôvodu v podstate neexistujúcej infraštruktúry pre zložitejšie
+operácie s Toeplitzovými maticami v Go (knižnica \texttt{gonum}) a rovnako v
+Pythone (knižnice \texttt{numpy}, \texttt{pandas}). Naopak, pre Matlab sú
+spomínané výpočty hračkou.
+
+Po ukončení výpočtov skript samostatne aj materský Go program zapíšu získané
+dáta (štatistické charakteristiky, odhady parametrov modelu a chyby odhadov) do
+súborov v priečinku \texttt{p3/data}.
+
+Tieto sú ďalej použité na vizualizáciu (grafy v tomto protokole) pomocou Python
+skriptu \texttt{p3/visualise.py}.
+
+
+\newpage
+\subsection{Získané signály}
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.79\textwidth]{res/signal_u}
+  \caption{Náhodne vygenerovaný signál pred aplikáciou filtra - u}
+  \label{fig:signalorig}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.79\textwidth]{res/signal_y}
+  \caption{Signál po aplikácii filtra a po primiešaní bieleho šumu - y}
+  \label{fig:signalfiltered}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\subsection{Štatistické charakteristiky\ 1.\ a\ 2.\ rádu}
+Vypočítali sme štatistické charakteristiky prvého a druhého rádu, ktorými sú:
+\begin{itemize}
+  \item stredná hodnota pre u, y (viď tabuľka~\ref{table:stats})
+  \item rozptyl pre u, y (viď tabuľka~\ref{table:stats})
+  \item koeficient korelácie (viď tabuľka~\ref{table:stats})
+  \item kovariančná matica (viď tabuľka~\ref{table:covmatrix})
+\end{itemize}
+
+
+% \newpage
+\subsection{Štatistické charakteristiky - súhrn}
+
+\begin{table}[!hbt]
+  \centering
+  \begin{tabular}{r|cc}
+     & \textbf{u} & \textbf{y} \\
+    \hline
+    \textbf{u} & 1.1583640130324268647 & 0.03705028274210936 \\
+    \textbf{y} & 0.03705028274210936  & 0.238500269470011544 \\
+  \end{tabular}
+
+  \caption{Kovariančná matica}
+  \label{table:covmatrix}
+\end{table}
+
+Zo zaznamenaných dát signálov sme spočítali odhady stredných hodnôt a
+rozptylov.
+V~tabuľke~\ref{table:stats} môžeme vidieť veľmi výrazné posuny signálu po
+prechode filtrom oproti pôvodnému signálu hlavne v rozptyle, zmeny v strednej
+hodnote sú relatívne malé.
+
+\begin{table}[!hbt]
+  \centering
+  \begin{tabular}{r|cc}
+     & \textbf{u} & \textbf{y} \\
+    \hline
+    \textbf{$\hat{\mu}_{u,y}$ (stredná hodnota)} & -0.0731240350331255062 & -0.028904091125753022 \\
+      \textbf{$\hat{\sigma}^{2}_{u,y}$ (rozptyl)} & 1.1583640130324268647 & 0.23850026947001154 \\
+    \textbf{$\hat{r}(U,Y)$ (koeficient korelácie)} & \multicolumn{2}{c}{0.07048952128001121} \\
+  \end{tabular}
+
+  \caption{Súhrn štatistických charakteristík}
+  \label{table:stats}
+\end{table}
+
+Hodnota koeficientu korelácie je mierne kladná, čo znamená jemný náznak
+tvrdenia, že signály spolu súvisia (viď tiež obrázok~\ref{fig:correlation-uy}).
+
+
+\newpage
+\subsection{Korelácia}
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.79\textwidth]{res/uy_correlation}
+  \caption{Korelácia UY}
+  \label{fig:correlation-uy}
+\end{figure}
+\newpage
+
+
+\newpage
+\subsection{Rekurzívna metóda najmenších štvorcov (RLSq)}
+\subsubsection{Theta}
+\begin{figure}[ht!]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.79\textwidth]{res/theta}
+  \caption{Vektor odhadov parametrov $\theta$ ARX modelu metódou RLSq}
+  \label{fig:theta}
+\end{figure}
+
+\subsubsection{Chyba predikcie}
+\begin{figure}[ht!]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.79\textwidth]{res/error}
+  \caption{Chyba predikcie parametrov $\hat{e}$ ARX modelu metódou RLSq}
+  \label{fig:theta}
+\end{figure}
+
+
+\newpage
+\subsection{Explicitná metóda najmenších štvorcov (ELSq)}
+\subsubsection{Theta}
+
+\begin{table}[!hbt]
+  \centering
+  \begin{tabular}{r|cc}
+    & \textbf{$\hat{\theta}_0$} & \textbf{$\hat{\theta}_1$} \\
+    \textbf{$\hat{a}_1$} & 0.575438144524362 & 0.0749122150759669 \\
+    \textbf{$\hat{a}_2$} & -0.44843045758266 & -0.0349682737100377 \\
+    \textbf{$\hat{b}_1$} & 0.067213688016673 & 0.00632428295715472 \\
+    \textbf{$\hat{b}_2$} & 0.0380293534942219 & -0.0253526197208066 \\
+  \end{tabular}
+
+  \caption{Odhad parametrov $\theta$ ARX modelu metódou ELSq}
+  \label{table:explicittheta}
+\end{table}
+
+\begin{figure}[!ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.70\textwidth]{res/explicit_theta}
+  \caption{Odhad parametrov $\theta$ ARX modelu metódou ELSq}
+  \label{fig:xplicittheta}
+\end{figure}
+
+% \newpage
+\subsubsection{Chyba predikcie}
+\begin{figure}[!ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.68\textwidth]{res/explicit_error}
+  \caption{Chyba predikcie parametrov $\hat{e}$ ARX modelu metódou ELSq}
+  \label{fig:expliciterror}
+\end{figure}
+
+
+\newpage
+\subsection{Porovnanie s Matlabovskou funkciou \texttt{c2dm}}
+\begin{figure}[h]
+  \centering
+  \begin{varwidth}{\linewidth}
+    \begin{verbatim}
+     >> % matlab cmd prompt
+     >> [n, d] = c2dm(1, [2 5 1], 1, 'zoh');
+    \end{verbatim}
+  \end{varwidth}
+  \caption{Analyticky vypočítané parametre diskrétneho modelu zo spojitého
+  modelu pomocou \texttt{c2dm}}
+\end{figure}
+
+\begin{table}[!hbt]
+  \centering
+  \begin{tabular}{r|ccc}
+     \textbf{$n$} &  0 & 0.1223 & 0.0544 \\
+     \textbf{$d$} & 1.0000 & -0.9053 & 0.0821 \\
+  \end{tabular}
+
+  \caption{Parametre získané pomocou \texttt{c2dm(1, [2 5 1], 1, 'zoh')}}
+  \label{table:explicittheta}
+\end{table}
+
+
+\newpage
+\section{Záver}