add content, fix stuff

solution.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 Jazyk zvolený pre vypracovanie práce bol Python, pseudonáhodné dáta
-reprezentujúce signál boli vygenerované programom Matlab.
+reprezentujúce signál boli vygenerované programom Matlab - Simulink\footnotemark{}.
 \\
 \\
 Kód je dostupný na nasledujúcom odkaze:\\
@@ -8,29 +8,113 @@ Kód je dostupný na nasledujúcom odkaze:\\
 Kód tohto protokolu je dostupný na nasledujúcom odkaze:\\
 \url{https://git.dotya.ml/wanderer/ak9im-proto1}.
 
-\subsection{Vygenerovanie signálu}
+\footnotetext{Matlab bol používaný na systéme Arch Linux (btw\texttrademark)
+\href{https://bbs.archlinux.org/viewtopic.php?id=277970}{po}
+\href{https://bbs.archlinux.org/viewtopic.php?pid=2051175#p2051175}{prekonaní}
+\href{https://uk.mathworks.com/matlabcentral/answers/1798895-invalid-cross-device-link-18-when-saving-a-file-on-arch-linux}{viacerých}
+\href{https://www.mathworks.com/matlabcentral/answers/93703-why-do-i-receive-host-id-error-after-selecting-a-license-file-during-installation}{problémov}
+s~inštaláciou, aktiváciou, QT + Wayland, \texttt{libfreetype.so} a inými.}
+
+\subsection{Spojitý model}
+\begin{equation*}
+  G(s) = \frac{1}{2s^2 + 5s + 1}
+\end{equation*}
+
+\subsection{Simulinkové schéma pre simuláciu pseudonáhodného signálu}
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/u_input_plot}
-  \caption{Náhodne vygenerovaný signál}
-  \label{signalorig}
+  \centering
+  \includegraphics[width=.80\textwidth]{res/model}
+  \caption{Simulinkové schéma pre simuláciu pseudonáhodného signálu}
+  \label{fig:model}
+\end{figure}
+
+\newpage
+\subsection{Perióda vzorkovania}
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.80\textwidth]{res/step_response}
+  \caption{Prechodová charakteristika modelu podľa \texttt{step(1, [2 5 1])}}
+  \label{fig:stepresponse}
+\end{figure}
+
+Prechodová charakteristika zobrazená na obrázku~\ref{fig:stepresponse} bola
+získaná príkazom \texttt{step(1 [2 5 1])} v Matlabe. V amplitúde nadobúda
+stabilne hodnotu $1$ po cca.~30 sekundách, perióda vzorkovania na výstupoch
+\textit{u} a \textit{y} bola teda podľa zadania zvolená na 3s (aktívna časť =
+10 vzoriek $\rightarrow 30s / 10 = 3s$). Minimálny počet vzoriek bol predpísaný
+na 250, dĺžka vzorkovania bola preto nastavená na 750s.
+
+
+\newpage
+\subsection{Vybudenie sústavy pseudonáhodným signálom}
+Sústava zobrazená na obrázku~\ref{fig:model} bola vybudená pseudonáhodným
+signálom s rovnomerným (\textit{uniform}) rozložením hodnôt v intervale
+$<-1;1>$. Vzorkovaním signálu bolo získaných celkom 251 hodnôt.
+
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.35\textwidth]{res/samplecount}
+  \caption{Počet vzoriek zachytených na výstupoch \textit{u} a \textit{y}}
+  \label{samplecount}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Uloženie zachytených vzoriek do CSV}
+Kvôli ďalšiemu spracovávaniu dát v Pythone bolo nutné dostať vzorky z Matlabu
+do CSV súboru. To sa dalo našťastie celkom jednoducho vykonať nasledujúcimi
+príkazmi:
+
+\begin{figure}[h]
+  \centering
+  \begin{varwidth}{\linewidth}
+    \begin{verbatim}
+     >> % matlab command prompt
+     >> cd <project location>
+     >> m = [out.u, out.y]
+     >> matrixwrite(m, 'm.csv')
+    \end{verbatim}
+  \end{varwidth}
+  \caption{Uloženie dát do CSV}
+\end{figure}
+
+Najskôr sme sa premiestnili do \texttt{<project location>}, následne sme si so
+zachytených vzoriek (jednorozmerné polia rovnakej dĺžky) vytvorili
+\textit{maticu}. Túto maticu sme nakoniec zapísali príkazom
+\texttt{matrixwrite} do želaného súboru.
+
+Súbor bolo dodatočne potrebné manuálne upraviť - pridať mu CSV "hlavičku" s
+názvami stĺpcov, aby ho bolo možné za pomoci knižnice
+\href{https://pandas.pydata.org/}{\texttt{Pandas}} bez problémov spracovať.
+
+
+\newpage
+\subsection{Získané signály}
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/signal_u}
+  \caption{Náhodne vygenerovaný signál pred aplikáciou filtra - u}
+  \label{fig:signalorig}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/y_input_plot}
-  \caption{Náhodne vygenerovaný signál s filtrom}
-  \label{signalfiltered}
+  \centering
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/signal_y}
+  \caption{Náhodne vygenerovaný signál po aplikácii filtra - y}
+  \label{fig:signalfiltered}
 \end{figure}
 
 \newpage
 \subsection{Histogram}
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/u_hist}
+  \centering
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/hist_u}
   \caption{Histogram u}
   \label{histu}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/y_hist}
+  \centering
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/hist_y}
   \caption{Histogram y}
   \label{histy}
 \end{figure}
@@ -38,128 +122,150 @@ Kód tohto protokolu je dostupný na nasledujúcom odkaze:\\
 \newpage
 \subsection{Distribučná funkcia}
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/u_dist}
+  \centering
+
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/cdf_u}
+
   \caption{Distribučná funkcia u}
   \label{distfuncu}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/y_dist}
+  \centering
+
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/cdf_y}
+
   \caption{Distribučná funkcia y}
   \label{distfuncy}
 \end{figure}
 
 \newpage
 \subsection{Štatistické charakteristiky\ 1.\ a\ 2.\ rádu}
-Boli vypočítané štatistické charakteristiky prvého a druhého rádu, ktorými sú:
+Vypočítali sme štatistické charakteristiky prvého a druhého rádu, ktorými sú:
 \begin{itemize}
-  \item stredná hodnota
-  \item rozptyl
-  \item koeficient korelácie
-  \item kovariančná matica (viď~\ref{covmatrix})
-  \item autokorelačná funkcia pre u, y
-  \item vzájomne korelačná funkcia
-  \item autokovariačná funkcia pre u, y
-  \item vzájomná kovariačná funkcia
+  \item stredná hodnota pre u, y (viď tabuľka~\ref{table:stats})
+  \item rozptyl pre u, y (viď tabuľka~\ref{table:stats})
+  \item koeficient korelácie (viď tabuľka~\ref{table:stats})
+  \item kovariančná matica (viď tabuľka~\ref{table:covmatrix})
+  \item autokorelačná funkcia pre u, y (obr.~\ref{fig:autocorrelation-u},~\ref{fig:autocorrelation-y})
+  \item vzájomne korelačná funkcia (obr.~\ref{fig:mutualcorrelation-uy},~\ref{fig:mutualcorrelation-yu})
+  \item autokovariančná funkcia pre u, y (obr.~\ref{fig:autocovar-u},
+    \ref{fig:autocovar-y})
 \end{itemize}
 
-\begin{table}[!hbt]
-\centering
-\begin{tabular}{r|cc}
- & \textbf{u} & \textbf{y} \\
-\hline
-\textbf{u} & 2.889406e-02 & 1.584866e+09 \\
-\textbf{y} & 1.584866e+09 &  1.948590e+23 \\
-\end{tabular}
-
-\label{covmatrix}
-\caption{Kovariačná matica}
-\end{table}
-
 
 \newpage
 \subsection{Korelácia}
 \subsubsection{Autokorelačná funkcia u}
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/u_autocorellation}
+  \centering
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/autocorrelation_u}
   \caption{Autokorelačná funkcia u}
-  \label{autocorrelationu}
+  \label{fig:autocorrelation-u}
 \end{figure}
 
 \subsubsection{Autokorelačná funkcia y}
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/y_autocorellation}
+  \centering
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/autocorrelation_y}
   \caption{Autokorelačná funkcia y}
-  \label{autocorrelationy}
+  \label{fig:autocorrelation-y}
 \end{figure}
 
 \newpage
 \subsubsection{Vzájomne korelačná funkcia}
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/mutual_corellation_uy}
-  \caption{Vzájomne korelačná funkcia}
-  \label{mutualcorrelation}
+  \centering
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/mutual_correlation_uy}
+  \caption{Vzájomne korelačná funkcia uy}
+  \label{fig:mutualcorrelation-uy}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[ht]
+  \centering
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/mutual_correlation_yu}
+  \caption{Vzájomne korelačná funkcia yu}
+  \label{fig:mutualcorrelation-yu}
 \end{figure}
 
 \newpage
 \subsection{Kovariancia}
-\subsubsection{Autokovariačná funkcia u}
+\subsubsection{Autokovariančná funkcia u}
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/u_autocovariance}
-  \caption{Autokovariačná funkcia u}
-  \label{autocovarianceu}
+  \centering
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/autocovariance_u}
+  \caption{Autokovariančná funkcia u}
+  \label{fig:autocovar-u}
 \end{figure}
 
-\subsubsection{Autokovariačná funkcia y}
+\subsubsection{Autokovariančná funkcia y}
 \begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/y_autocovariance}
-  \caption{Autokovariačná funkcia y}
-  \label{autocovariancey}
+  \centering
+  \includegraphics[width=.77\textwidth]{res/autocovariance_y}
+  \caption{Autokovariančná funkcia y}
+  \label{fig:autocovar-y}
 \end{figure}
 
+
 \newpage
-\subsubsection{Vzájomne kovariačná funkcia}
-\begin{figure}[ht]
-  \includegraphics[width=.75\textwidth]{res/mutual_covariance_uy}
-  \caption{Vzájomne kovariačná funkcia}
-  \label{mutcovariance}
-\end{figure}
-
-\newpage
-\subsection{Štatistické charakteristiky}
+\subsection{Štatistické charakteristiky - súhrn}
 
 \begin{table}[!hbt]
-\centering
-\begin{tabular}{r|cc}
+  \centering
+  \begin{tabular}{r|cc}
      & \textbf{u} & \textbf{y} \\
-\hline
-\textbf{stredná hodnota} & 0.13739797971503992 & 20217121352.41238 \\
-\textbf{rozptyl} & 0.028836383482803592 & 1.9447005240730458e+23 \\
-\textbf{koeficient korelácie} & \multicolumn{2}{c}{0.021121664240700538} \\
-\textbf{koeficient kovariancie} & \multicolumn{2}{c}{1.58170285e+09} \\
-\end{tabular}
+    \hline
+    \textbf{u} & 0.30774141 & -0.00436625 \\
+    \textbf{y} & -0.00436625 & 0.01241115 \\
+  \end{tabular}
 
-\label{stats}
-\caption{Súhrn štatistickúch charakteristík}
+  \caption{Kovariančná matica}
+  \label{table:covmatrix}
 \end{table}
 
+Zo zaznamenaných dát signálov sme spočítali odhady stredných hodnôt a
+rozptylov.
+V~tabuľke~\ref{table:stats} môžeme vidieť výrazné posuny signálu po prechode
+filtrom oproti pôvodnému signálu ako v strednej hodnote tak v rozptyle.
+
+
+\begin{table}[!hbt]
+  \centering
+  \begin{tabular}{r|cc}
+     & \textbf{u} & \textbf{y} \\
+    \hline
+    \textbf{$\hat{\mu}_{u,y}$ (stredná hodnota)} & -0.0016865221052993265 & 0.0030596815877553443 \\
+      \textbf{$\hat{\sigma}^{2}_{u,y}$ (rozptyl)} & 0.3077414110318535 & 0.012411153945455982 \\
+    \textbf{$\hat{r}(U,Y)$ (koeficient korelácie)} & \multicolumn{2}{c}{-0.07064959453763188} \\
+  \end{tabular}
+
+  \caption{Súhrn štatistických charakteristík}
+  \label{table:stats}
+\end{table}
+
+Hodnota koeficientu korelácie je mierne záporná, čo znamená jemný náznak
+tvrdenia, že signály spolu nesúvisia, resp. vzhľadom na to ako blízko je
+daná záporná hodnota 0 ide skôr o preukázanie neexistencie súvisu.
+
+Toto by som ja osobne nebol schopný konštatovať len z pohľadu na grafy signálov
+pred a po aplikácii filtra, viď obrázky~\ref{fig:signalorig}
+a~\ref{fig:signalfiltered}. Je, samozrejme, možné pozorovať jemné
+\textit{sploštenie} a \textit{zjemnenie} signálu, stále však vidieť podobnú
+\textit{chaotickosť.}
+
+
 \newpage
 \section{Záver}
 V tejto úlohe sme si oprášili vedomosti týkajúce sa štatistických
 charakteristík prvého a druhého rádu, museli sme zistiť, ako vygenerovať
 pseudonáhodný signál v programe Matlab-Simulink, upraviť vygenerované dáta do
-formátu, v ktorom sa dajú jednoducho spracovať \texttt{python} knižnicou
-\texttt{Pandas} a nakoniec napísať malý program, ktorý tieto dáta konečne
-spracuje a vygeneruje z nich grafy.
+formátu, v ktorom sa dajú jednoducho spracovať napr. za pomoci
+\textit{\texttt{python} knižnice pre dátovú analýzu}
+\href{https://pandas.pydata.org/}{\texttt{Pandas}} a nakoniec napísať malý
+program, ktorý tieto dáta konečne spracuje a vygeneruje z nich grafy.
 
-Už na prvý grafy pohľad vyzerajú veľmi prekvapivo a následná analýza\\
-štatistických charakteristík len potvrdila môj dojem z vygenerovaných dát --
-zatiaľ čo pôvodné dáta nadobúdali hodnoty takmer s normálnym rozložení, po
-prejdení filtrom došlo v signále k veľkému skresleniu a tak je možné
-neprekvapivo konštatovať, že z korelačných hodnôt nie je vidieť priveľký súvis
-medzi vstupným a výstupným signálom (koeficient korelácie blízky 0 signifikuje
-neexistujúci súvis).
-
-Za dôvod vyššie konštatovaného je mimo programátorskej chyby možné považovať už
-snáď len vstupné dáta, resp. konfiguráciu sústavy v programe Matlab-Simulink,
-s~ktorým nie som príliš oboznámený.
+Grafy síce vyzerajú na prvý pohľad relatívne príbuzne, následná analýza
+štatistických charakteristík však nepotvrdila pozitívnu koreláciu medzi
+signálmi na vstupe a výstupe po prejdení filtrom, co môžeme zrejme pripísať
+istej miere skreslenia. Koeficient korelácie blízky 0 signifikuje neexistujúci
+súvis medzi skúmanými veličinami.